实二次域的p类塔的启发式研究

设 $p$ 为一个奇素数。对于数域 $K$,令 $K_\infty$ 为 $K$ 的极大非分歧 pro-$p$ 扩张;称群 $\mathrm{Gal}(K_\infty/K)$ 为 $K$ 的 $p$-类塔群。在先前的工作中,作为 Cohen 和 Lenstra 关于理想类群工作的非交换推广,我们研究了给定有限 $p$-群作为虚二次域的 $p$-类塔群出现的可能性。此处我们对以任意实二次域 $K$ 为底域做同样的研究。如前, $\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$ 在 $K$ 的 $p$-类塔群上的作用起着关键作用;然而,底域中存在无限阶单位显著复杂化了可能出现的群的可能性。我们还利用 Boston 和 Wood 的思想,通过移除某一假设, sharpen 了虚二次域情形下的结果。在附录中,我们展示了如何将针对有限 $p$-群引入的概率一致地推广到在实与虚二次域情形中均可能出现的无限 pro-$p$ 群。