Weber 类数问题与 $\mathbb{Q}$ 的分圆 $\widehat{\mathbb{Z}}$-扩张中的 $p$-合理性

设 $K$ 为分圆 $\widehat{\mathbb{Z}}$-扩张 $\widehat{\mathbb{Q}}$ 中的第 $N$ 层。许多作者（Aoki、Fukuda、Horie、Ichimura、Inatomi、Komatsu、Miller、Morisawa、Nakajima、Okazaki、Washington 等）分析了 $p$-类群 ${\mathcal C}_K$ 的性质。我们以更具概念性的形式重新审视该问题，因为计算表明 $K$ 的极大交换 $p$-分歧 pro-$p$-扩张的 Galois 群的 $p$-扭群 ${\mathcal T}_K$（即 $K$ 的 Tate--Shafarevich 群）常常非平凡；这引发了疑问，因为 $\# {\mathcal T}_K = \# {\mathcal C}_K\, \# {\mathcal R}_K$，其中 ${\mathcal R}_K$ 为规范化 $p$-进 regulator。我们给出检验 ${\mathcal T}_K \ne 1$ 的新方法（定理 4.6，表 6.2），并刻画 $\widehat{\mathbb{Q}}$ 中满足 ${\mathcal C}_F \ne 1$ 的 $K$ 的 $p$-扩张 $F$（定理 7.5 与推论 7.6）。我们发布了易于使用的程序，再次验证了八个已知例子，并允许进一步的广泛计算。