类群 p-秩 $\epsilon$-猜想对 p-扩张塔成立
数论
2022-08-08 v2
摘要
设 p2 为给定素数。对任意数域 kappa 和任意整数 e1，我们证明关于 p-类群 Cl_F 的 p-秩 -猜想对族 F_\kappa^p^e 成立，该族由逐次 p 次循环扩张（无任何其他 Galois 条件）构成使得 F/\kappa 的次数为 p^e，即：#(Cl_F[p])<<_{\kappa,p^e,\epsilon}(\sqrt D_F)^\epsilon，其中 D_F 为判别式的绝对值（定理 3.6），更一般地，对任意固定的 r1 有 #(Cl_F[p^r])<<_{\kappa,p^e,\epsilon}(\sqrt D_F)^\epsilon。本注记推广了族 F_Q^p 的情形（Genus theory and -conjectures on p-class groups, J. Number Theory 207, 423--459 (2020)），其技巧对一切相对 p 次循环扩张似乎是“普适的”，并使用了 Montgomery--Vaughan 关于素数的结果。随后我们对 F_\kappa^p^e 证明了 Galois p-分歧理论在 F 上的上同调群 H^2(G_F,Z_p) 的 p-秩 -猜想（定理 4.3），以及对 F 的其他一些经典有限 p-不变量，如 Hilbert 核与对数类群，该猜想也成立。
引用
@article{arxiv.2001.07500,
title = {The p-rank $\epsilon$-conjecture on class groups is true for towers of p-extensions},
author = {Georges Gras},
journal= {arXiv preprint arXiv:2001.07500},
year = {2022}
}
备注
Important improvements giving more general families of fields, whence a modification of the title; 15 pages. Generalize: https://doi.org/10.1016/j.jnt.2019.07.008