亏格理论与 p 类群上的 ε 猜想
数论
2021-08-06 v3
摘要
我们推测，数域 K 类数的“亏格部分”可能构成对 p 类群经典 p 秩 ε 猜想的“简易证明”的障碍，且更一般地，构成对“强 ε 猜想”证明的障碍：对所有 d 次域 K，有 #(Cl_K ⊗ Z_p) <<_(d,p,ε) (√D_K)^ε。我们通过具有多个分歧素数的无穷族 d=p 循环域，分析亏格理论在该不等式中的权重，随后证明 p 秩 ε 猜想：对 d=p 及该 p 次循环扩张族（定理 2.5），有 #(Cl_K ⊗ F_p) <<_(d,p,ε) (√D_K)^ε，并勾勒任意基域的情形。在 p 次循环情形下，强形式的可能障碍是由一个众所周知但不可预测的算法给出的“例外” p 类集合的阶，但借助 Koymans–Pagano 近期关于密度的结果可加以控制。接着我们将 ε 猜想与某些 Brauer-Siegel 型的 p 进猜想进行比较，后者涉及全实数域 K 的极大阿贝尔 p 分歧 pro-p 扩张的 Galois 群的挠群 T_K。我们给出了相应的 PARI/GP 程序数值计算。
引用
@article{arxiv.1903.02922,
title = {Genus theory and $\epsilon$-conjectures on p-class groups},
author = {Georges Gras},
journal= {arXiv preprint arXiv:1903.02922},
year = {2021}
}
备注
Few corrections and new references