关于 p 进 Brauer--Siegel 定理的启发式研究
数论
2021-08-06 v3
摘要
设 p 为一个固定的素数。设 K 为判别式 D_K 的全实数域，并设 T_K 为 K 的极大交换 p-分歧 pro-p 扩张的伽罗瓦群的挠群（在 Leopoldt 猜想下）。我们猜想存在常数 C_p>0，使得当 K 在若干指定族（例如固定次数的域）中变化时，log(#T_K) C_p log(\sqrt(D_K))。在某种意义下，我们提出经典 Brauer--Siegel 定理的一个 p 进类比，此处涉及 K 的 p 进 zeta 函数 zeta_p(s) 在 s=1 处留数（本质上等于 #T_K）的赋值。我们将使用 Washington 于 1980 年代给出的不同定义，并通过对 T_K 的算术研究来处理此问题，因为 p 进分析似乎由于 zeta_p(s) 可能存在的丰富“Siegel 零点”而失效，这与经典框架相反。我们对二次域和三次域（循环或非循环）给出了广泛的数值验证，并发布了读者可直接用于数值改进的 PARI/GP 程序。这样一个猜想（若准确）强化了我们的如下猜想：任意固定数域 K 对所有 p >> 0 都是 p-有理的（即 T_K=1）。
引用
@article{arxiv.1801.04214,
title = {Heuristics in direction of a p-adic Brauer--Siegel theorem},
author = {Georges Gras},
journal= {arXiv preprint arXiv:1801.04214},
year = {2021}
}
备注
Improvements of numerical results - New arguments for the conjecture(34 pages+PARI/GP programs)