正特征下形式 Brauer 群的一致有界性

设 $k$ 为特征 $p>0$ 的有限生成域，$X$ 为 $k$ 上的光滑真概型。Cadoret、Hui 与 Tamagawa 的近期工作表明，若 $X$ 对每个素 $\ell\neq p$ 满足除子的 $\ell$-进 Tate 猜想，则 $X$ 的几何 Brauer 群的素到-$p$ 挠部分的 Galois 不变子群 $Br(X_{\overline k})[p']^{\pi_1(k)}$ 是有限的。本注记的主要结果是，对每个整数 $d\geq 1$，存在常数 $C:=C(X,d)$，使得对每个满足 $[k':k]\leq d$ 的有限域扩张 $k \subseteq k'$ 以及 $X$ 的每个 $(\overline k/k')$-形式 $Y$，有 $|(Br(Y\times_{k'}\overline k)[p']^{\pi_1(k')}|\leq C$。该定理是关于 $\pi_1(k)$-表示的相容系统之形式的一般性结果推论，并将 Orr 与 Skorobogatov 在零特征中的近期结果推广到了正特征。