正特征下 Néron-Severi 群的特殊化

设 $k$ 为特征 $p>0$ 的无限有限生成域。固定一个分离概形 $X$，它在 $k$ 上光滑、几何连通且有限型，并固定一个光滑真态射 $f:Y\rightarrow X$。本文的主要结果是存在“大量”闭点 $x\in X$，使得 $f$ 在 $x$ 处的纤维具有与泛型纤维相同的几何 Picard 秩。若 $X$ 是一条曲线，我们在极小技术假设下证明，除有限多个 $k$-有理点外这对所有点都成立。在特征零的情形，这些结果已由 André（存在性）和 Cadoret-Tamagawa（有限性）利用 Hodge 理论方法证明。为在正特征下推广该论证，我们使用晶状上同调中的变分 Tate 猜想、各种 $p$-进上同调理论之间的比较以及独立性技巧。该结果可应用于除子的 Tate 猜想、Brauer 群的一致有界性、射影簇的恰当族以及光滑射影簇的超平面截族的研究。