代数数的$\theta$-调节子概念。$p$-adic猜想

设K/Q是n次伽罗瓦扩张，伽罗瓦群为G，并设$\eta\in K^\times$。对于所有足够大的素数p，利用Frobenius关于群行列式的定理，我们定义了由G的Qp不可约特征$\theta$索引的$\eta$的局部$\theta$-调节子族$(\Delta_p^\theta(\eta) \in \F_p)_\theta$。每个$\Delta_p^\theta(\eta)$关联一个线性表示$L^\theta \simeq \delta V_\theta$，$0 \leq \delta \leq \varphi(1)$，它刻画了$\Delta_p^\theta(\eta)$的某些性质，包括其零性等价于$\delta \geq 1$（定理3.11）。当$\eta \in \Q^\times$且$\theta = 1$时，$\Delta_p^1(\eta)$是$\eta$的p-Fermat商。当$\eta$是“Minkowski单位”时，每个$\theta \ne 1$的$\Delta_p^\theta(\eta)$给出$p^{1-n} \text{Reg}_p(K)$的$\theta$分量模p的余数，其中Reg(K)是K的经典p-adic调节子。我们建议($\Delta_p^\theta(\eta) = 0$且$L^\theta \simeq \delta V_\theta$)的“概率”为$\frac{O(1)}{p^{f \delta^2}}$，其中f是p的适当剩余次数。我们猜想，对于足够大的p，$p^{1-n} \text{Reg}_p(K)$（它衡量K上阿贝尔p-分歧中p-挠群的大小）是一个p-adic单位，除非可能对于一组密度为零的素数。对于这些称为“最小p-可分性”的情况（定义3.17），仍然可能（此时$\eta$在p处是“部分局部p次幂”）结合ABC猜想提出一个更强的猜想，该猜想对所有足够大的p得出相同的结论（第7节）。讨论了关于Fermat商的其他一些猜想方面。我们通过各种域上的数值研究精确并验证了这些性质，并发布了相应的“PARI”程序。