关于代数数模p的阶（对于足够大的p）
数论
2021-08-06 v2
摘要
设 K/Q 为 Galois 扩张，且设 η ∈ K* 其共轭在乘法上独立。对于素数 p，非分歧且与 η 互素，设 np 为 p 的剩余次数，gp 为满足 P|p 的 P 的个数，然后令 o_P(η) 和 o_p(η) 分别为 η 模 P 和模 p 的阶。利用 Frobenius 自同构，我们证明对所有 p>>0，p^(np)-1 的某些显式因子不能实现 o_P(η) 也不能实现 o_p(η)，并给出 o_p(η) 的下界。进而我们得到，对所有满足 np > 1 的 p>>0，Prob(o_p(η)<p) ≤ 1/p^(gp·(np-1)-ε))，其中 ε = O(1/(log_2(p)))；在 Borel--Cantelli 启发式下，这导致对所有满足 gp·(np-1) ≥ 2 的 p>>0 有 o_p(η)>p，这覆盖了 np=3 的三次域和 np=gp=2 的四次域的“极限”情形，但不包含 np=2 的二次域情形。在二次域情形，相反的自然猜想是对于无穷多个惰性 p 有 o_p(η) < p。给出了一些基于 PARI 程序的计算。
引用
@article{arxiv.1511.01755,
title = {On the order modulo p of an algebraic number (for p large enough)},
author = {Georges Gras},
journal= {arXiv preprint arXiv:1511.01755},
year = {2021}
}
备注
To appear in "Journal de Th{\'e}orie des Nombres de Bordeaux" (2017)