等差数列中素数间最小可能阶的间隙

设 $t \in \mathbb{N}$，$\eta >0$。假设 $x$ 是充分大的实数，$q$ 是满足 $q \leq x^{5/12-\eta}$ 的自然数，且 $q$ 不是例外特征 $\chi^*$（若存在）的导子的倍数。进一步假设，$$\max \{p : p | q \} < \exp (\frac{\log x}{C \log \log x}) \; \; {and} \; \; \prod_{p | q} p < x^{\delta},$$ 其中 $C$ 和 $\delta$ 是依赖于 $t$ 和 $\eta$ 的适当正常数。设 $a \in \mathbb{Z}$，$(a,q)=1$ 且 $$\mathcal{A} = \{n \in (x/2, x]: n \equiv a \pmod{q} \} .$$ 我们证明在 $\mathcal{A}$ 中存在素数 $p_1 < p_2 < ... < p_t$，满足 $$p_t - p_1 \ll qt \exp (\frac{40 t}{9-20 \theta}) .$$ 此处 $\theta = (\log q) / \log x$。