突破 17/30 障碍的短区间素数算术级数

我们证明，一旦 $\theta>17/30$，每个足够长的区间 $[x,x+x^\theta]$ 都包含许多 $k$ 项素数算术级数，且对起点 $x$ 一致成立。更精确地说，对于每个固定的 $k\ge3$ 和 $\theta>17/30$，对所有充分大的 $X$ 和所有 $x\in[X,2X]$，有 $$\#\{\text{$k$-APs of primes in }[x,x+x^\theta]\}\ \gg_{k,\theta}\ \frac{N^{2}}{\big((\varphi(W)/W)^{k}(\log R)^{k}\big)}\ \asymp\ \frac{X^{2\theta}}{(\log X)^{k+1+o(1)}},$$ 其中 $W:=\prod_{p\le \tfrac12\log\log X}p$，$N:=\lfloor x^\theta/W\rfloor$，$R:=N^\eta$ 对于某个小的固定 $\eta=\eta(k,\theta)>0$。这一结果是通过将指数 $\theta>17/30$ 的一致短区间素数定理（Guth 和 Maynard 最近零点密度估计的推论）与窗口对齐的 $W$-trick 分块上的 Green-Tao 转移原理（相对 Szemerédi 形式）相结合而得到的。我们还记录了一个简洁的 Maynard 型引理，关于在微小区间 $(\log x)^\varepsilon$ 内限制于固定同余类的稠密簇，我们将其用作热身和背景介绍。附录包含一个短区间 Barban-Davenport-Halberstam 均方界（对 $x$ 一致），我们将其作为方差估计的黑盒使用。本文的证明得到了 GPT-5 的辅助。