素数理论中的显式估计

本论文的目的是阐述并证明素数理论中一系列显式结果。首先，考虑了短区间内的素数问题。我们证明，对于所有 $n \geq \exp(\exp(33.3))$，在连续立方数 $n^3$ 和 $(n+1)^3$ 之间存在一个素数。为证明这一点，我们首先推导了 Riemann-von Mangoldt 显式公式的一个显式版本。然后我们假设 Riemann 猜想，并证明对于所有 $x > 2$，在区间 $(x-4/ \pi \sqrt{x} \log x, x]$ 内将存在一个素数。此外，我们证明对于所有足够大的 $x$ 值，常数 $4/\pi$ 可以减小到 $(1+\epsilon)$。利用算术级数中素数的显式结果，我们证明了加性数论中的两个新结果。首先，我们证明每个大于 2 的整数都可以写为一个素数与一个无平方因子数之和。然后我们类似地证明，每个大于 10 且模 4 不同余于 $1$ 的整数都可以写为一个素数的平方与一个无平方因子数之和。最后，我们提供了关于 Ramanujan 的一个晦涩不等式的新的显式结果。