包含素数完全 $k$ 次幂的连续素数间的大间隙

设 $k\geq 2$ 为一个固定的自然数。我们确立存在无穷多对连续素数 $p_n$、$p_{n+1}$ 满足 $$p_{n+1}-p_n\geq c\:\frac{\log p_n\: \log_2 p_n\: \log_4 p_n}{\log_3 p_n}\:,$$ 其中 $c$ 为固定的正常数，并且区间 $(p_n, p_{n+1})$ 包含素数的 $k$ 次幂。