连续素数幂的间隙及其若干推论

令 $p_n$ 表示第 $n$ 个素数，$\{q_n\}$ 为正数列且 $x\in\mathbb{R}$。在本注记中，我们证明不等式 $$q_n p_{n+1}^{x}-q_{n+1}p_{n}^{x}<p_{n}^{x}p_{n+1}^{x-1},$$ 对无穷多个 $n$ 成立。如文所示，得到此行为的关键要素是库默尔（Kummer）关于正项收敛级数刻画的一个推广的推论。