算术级数中素数幂之和

Gerard 与 Washington 证明了，对于 $k > -1$，小于 $x^{k+1}$ 的素数个数可通过对所有不超过 $x$ 的素数的 $k$ 次幂求和来良好近似。我们将此结果推广至算术级数中的素数：我们证明，满足 $p\equiv n \pmod m$ 且小于 $x^{k+1}$ 的素数个数，渐近于所有满足 $p\equiv n \pmod m$ 且不超过 $x$ 的素数的 $k$ 次幂之和。我们证明该素数幂和近似在 $k$ 为正时往往低估、在 $k$ 为负时高估，并针对不同的 $k$ 值量化了该近似在 $x$ 介于 $10^4$ 与 $10^8$ 之间的表现。