素数幂和 II

对于实数 $k$，定义 $\pi_k(x) = \sum_{p\le x} p^k$。当 $k>0$ 时，我们证明 $$\pi_k(x) - \pi(x^{k+1}) = \Omega_{\pm}\left(\frac{x^{\frac12+k}}{\log x} \log\log\log x\right)$$ 当 $x\to\infty$，并且我们证明在 $-1<k<0$ 时有类似结果。这加强了 J. Gerard 与作者之前论文中的结果，并修正了该论文证明中的一个缺陷。我们还量化了那篇论文中的观察：当 $k>0$ 时 $\pi_k(x) - \pi(x^{k+1})$ 通常为负，而当 $-1<k<0$ 时通常为正。