素数定理中对数积分的起源

我们确立了为何 li(x) 作为素数计数函数 pi(x) 的估计值优于 x/log x。该结果源于将自然数划分为区间 s_k := {p_k^2, ..., p_{k+1}^2-1} (k>=1)，每个区间均被前 k 个素数 {p_1, ..., p_k} 完全筛除。记 s_k 中的素数个数为 pi_k，我们证明 pi_k 近似等于 |s_k|/log p_{k+1}^2，且 pi(x) ~ li(x) 源于对 sum_k pi_k 的连续统近似。相比之下，pi(x) ~ x/log x 源于在已完成区域重复进行筛除——这解释了为何 x/log x 低估了 pi(x)。定义 s_k 所产生的解释潜力显得很有前景，最后一节概述的进一步研究证实了这一点。