关于 |Li(x)-π(x)| 与短区间内的素数

本文讨论数论的两个主题。首先，我们证明对每个自然数 x≥10³，有 |Li(x)-π(x)|≤c√x log x 且 π(x)=Li(x)+O(√x log x)，其中 c 为大于 1 且小于 e 的常数。其次，借助对素数计数更为精确的估计（当 x≥10⁴¹ 时误差范围小于 x^{1/2-0.0327283}），我们证明了一个关于短区间内素数个数的定理：给定一个正实数 β，它通过 e(log x_β)³/x_β^{0.0327283}=β 确定实数 x_β，令 Φ(x):=β x^{1/2} 对 x≥x_β 成立，其中当取 β=1 时 Φ(x):=x^{1/2}。则有 (π(x+Φ(x))-π(x))/(Φ(x)/log x)=1+O(1/log x) 且 lim_{x→∞} (π(x+Φ(x))-π(x))/(Φ(x)/log x)=1。