涉及 $\binom{rk}{k}$ 的和的同余式

我们主要研究形如 $\sum_k\binom{rk}{k}x^k/k$ 的有限和在范围 $0<k<p$ 和 $0<k<p/r$ 内关于素数 $p$ 的同余性质，其中 $p$ 是大于正整数 $r$ 的素数。这里 $x$ 是未定元，因此允许将 $x$ 取某些代数数作为值时的数值同余。我们采用两种互补优势的不同方法。特别地，我们获得了和 $\sum_{0<k<p}\binom{rk}{k}x^k$ 模 $p^2$ 的同余式，用与 $x$ 相关的某些量的有限多对数函数来表示。