涉及 $\binom{4k}{2k}$ 和 $\binom{3k}k$ 的同余式

设 $p$ 为大于3的素数。本文主要确定了模 $p$ 下的 $\sum_{k=0}^{[p/4]}\binom{4k}{2k}(-1)^k$、$\sum_{k=0}^{[p/3]}\binom{3k}k$、$\sum_{k=0}^{[p/3]}\binom{3k}k(-1)^k$ 和 $\sum_{k=0}^{[p/3]}\binom{3k}k(-3)^k$，其中 $[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数。