涉及二项式系数与 Apéry 类数的同余式

对于 $n=0,1,2,\ldots$，令 $W_n=\sum_{k=0}^{[n/3]}\binom{2k}k \binom{3k}k\binom n{3k}(-3)^{n-3k}$，其中 $[x]$ 是不超过 $x$ 的最大整数。则 $\{W_n\}$ 是一个 Apéry 类序列。本文推导了许多涉及 $\{W_n\}$ 的同余式，特别地，我们利用二元二次形式确定了 $\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}k\frac{W_k}{m^k}\pmod p$ 对于 $m=-640332,-5292,-972,-108,-44,-27,-12,8,54,243$ 的值，其中 $p>3$ 为素数。我们还证明了几关于广义 Apéry 类数的同余式，并提出了 29 个涉及二项式系数与 Apéry 类数的同余式的挑战性猜想。