关于涉及 Apéry 数的同余式

本文主要建立一个涉及 Apéry 数的和的同余式，该同余式由孙智伟猜想。即，对任意素数 $p>3$ 和正奇数 $m$，我们证明存在一个仅依赖于 $m$ 的 $p$-进整数 $c_m$，使得 $$\sum_{k=0}^{p-1}(2k+1)^{m}(-1)^kA_k\equiv c_mp\left(\frac{p}{3}\right)\pmod{p^3},$$ 其中 $A_k=\sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j}^2\binom{k+j}{j}^2$ 为 Apéry 数，$(\frac{\cdot}{p})$ 为 Legendre 符号。