关于阿佩里数与弗兰尔数的三个超同余式

阿佩里数 $A_n$ 与弗兰尔数 $f_n$ 定义为 $$A_n=\sum_{k=0}^{n}{\binom{n+k}{2k}}^2{\binom{2k}{k}}^2\ \ \ \ \ {\rm and }\ \ \ \ \ \ f_n=\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}}^3(n=0, 1, \cdots,).$$ 本文证明了 Z.-W. Sun 所猜想的关于阿佩里数或弗兰尔数的三个超同余式。设 $p\geq 5$ 为素数且 $n\in \mathbb{Z}^{+}$。我们证明 \begin{align} \notag \frac{1}{n}\bigg(\sum_{k=0}^{pn-1}(2k+1)A_k-p\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)A_k\bigg)\equiv0\pmod{p^{4+3\nu_p(n)}} \end{align} 以及 \begin{align}\notag \frac{1}{n^3}\bigg(\sum_{k=0}^{pn-1}(2k+1)^3A_k-p^3\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)^3A_k\bigg)\equiv0\pmod{p^{6+3\nu_p(n)}}, \end{align} 其中 $\nu_p(n)$ 表示 $n$ 的 $p$-进赋值。此外,对任意素数 $p$ 我们有 \begin{align} \notag \frac{1}{n^3}\bigg(\sum_{k=0}^{pn-1}(3k+2)(-1)^kf_k-p^2\sum_{k=0}^{n-1}(3k+2)(-1)^kf_k\bigg)\equiv0\pmod{p^{3}}. \end{align}