多元 Ap\'ery 数与有理函数的超同余

Ap\'ery 数 $A (n)$ 在 Ap\'ery 证明 $\zeta (3)$ 的无理性时被引入，其显著性质之一是满足两项超同余 \begin{equation*} A (p^r m) \equiv A (p^{r - 1} m) \pmod{p^{3 r}} \end{equation*} 对于素数 $p \geq 5$。人们猜想类似的同余式对所有类 Ap\'ery 序列均成立。我们通过证明这些超同余可推广至有理函数 \begin{equation*} \frac{1}{(1 - x_1 - x_2) (1 - x_3 - x_4) - x_1 x_2 x_3 x_4} . \end{equation*} 的所有 Taylor 系数 $A (n_1, n_2, n_3, n_4)$，为 Ap\'ery 数所满足的超同余提供了新的视角。Ap\'ery 数是该函数的对角线系数，而该函数比此前已知具有此性质的有理函数更为简单。我们的主要结果为一个由分划 $\lambda$ 索引的无限序列族提供了类似结论，该序列族还包括 Franel 数和 Yang--Zudilin 数，以及与 $\zeta (2)$ 对应的 Ap\'ery 数。借助 Almkvist--Zudilin 数的例子，我们进一步指出了其他类 Ap\'ery 序列存在多元超同余的证据。