Z.-H. Sun 所猜想的一个超同余式的证明

Franel 数定义为 $f_n=\sum_{k=0}^n {n\choose k}^3.$ 受 Z.-W. Sun 近期关于 Franel 数工作的启发，我们证明了 \begin{align*} \sum_{k=0}^{n-1}(3k+1)(-16)^{n-k-1} {2k\choose k} f_k &\equiv 0\pmod{n{2n\choose n}}, \\ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{3k+1}{(-16)^k} {2k\choose k} f_k &\equiv p (-1)^{\frac{p-1}{2}} \pmod{p^3}. \end{align*} 其中 $n>1$ 且 $p$ 为奇素数。第二个模 $p^2$ 同余式证实了 Z.-H. Sun 近期的一个猜想。我们还表明，若 $p$ 是形如 $4k+3$ 的素数，则 $$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{{2k\choose k} f_k}{(-16)^k} \equiv 0 \pmod p,$$ 这证实了 Z.-H. Sun 另一个猜想的特例。