若干涉及 Domb 数的猜想同余式的证明

本文主要证明 Z.-H. Sun \cite{SH2} 的如下猜想：设 $p>3$ 为素数。若 $p\equiv1\pmod3$ 且 $p=x^2+3y^2$，则有 $$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{D_k}{4^k}\equiv\sum_{k=0}^{p-1}\frac{D_k}{16^k}\equiv4x^2-2p-\frac{p^2}{4x^2}\pmod{p^3},$$ 若 $p\equiv2\pmod3$，则有 $$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{D_k}{4^k}\equiv-2\sum_{k=0}^{p-1}\frac{D_k}{16^k}\equiv\frac{p^2}2\binom{\frac{p-1}2}{\frac{p-5}6}^{-2} \pmod{p^3},$$ 其中 $D_n=\sum_{k=0}^n\binom{n}k^2\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}$ 表示第 $n$ 个 Domb 数。