涉及两个二项式系数乘积的新同余式

设 $p>3$ 为素数，$a$ 为正整数。我们证明若 $p\equiv1\pmod 4$ 或 $a>1$，则 $$\sum_{k=0}^{\lfloor\frac34p^a\rfloor}\frac{\binom{2k}k^2}{16^k}\equiv\l(\frac{-1}{p^a}\r)\pmod{p^3}$$（其中 $(-)$ 为 Jacobi 符号），这证实了 Z.-W. Sun 的一个猜想。我们还建立了如下新同余式：\begin{align*}\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\binom{2k}k\binom{3k}k}{27^k}\equiv&\l(\frac p3\r)\frac{2^p+1}3\pmod{p^2}, \\ \sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\binom{6k}{3k}\binom{3k}k}{(2k+1)432^k}\equiv&\l(\frac p3\r)\frac{3^p+1}4\pmod{p^2}, \\ \sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\binom{4k}{2k}\binom{2k}k}{(2k+1)64^k}\equiv&\l(\frac{-1}p\r)2^{p-1}\pmod{p^2}. \end{align*} 需注意，2003年 Rodriguez-Villeguez 提出了关于 $$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^2}{16^k},\ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k\binom{3k}k}{27^k},\ \sum_{k=1}^{p-1}\frac{\binom{4k}{2k}\binom{2k}k}{64^k},\ \sum_{k=1}^{p-1}\frac{\binom{6k}{3k}\binom{3k}k}{432^k}$$ 模 $p^2$ 的猜想，这些猜想后来被证明。