孙智伟两个同余猜想的证明

在本文中，我们主要证明孙智伟（Z.-W. Sun）的两个同余猜想。设 $p\equiv3\pmod 4$ 为素数。则 $$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^2}{8^k}\equiv-\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^2}{(-16)^k}\pmod{p^3}.$$ 且对任意奇素数 $p$，若 $p=x^2+y^2$ 且 $4|x-1, 2|y$，则 $$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{(k+1)\binom{2k}k^2}{8^k}+\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{(2k+1)\binom{2k}k^2}{(-16)^k}\equiv2\left(\frac{2}p\right)x\pmod{p^3}.$$