关于中心二项式系数和的三对同余式

最近，第一作者证明了 Adamchuk 于 2006 年提出的一个同余式：对任意素数 $p=1 \pmod{3}$，有 $\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{2p}{3}\rfloor}\binom{2k}{k}\equiv 0\pmod{p^2}$。在本文中，我们给出更多同类同余式的例子（附证明）$$\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{ap}{r}\rfloor}\binom{2k}{k}x^k \pmod{p^2}$$ 其中 $p$ 是满足 $p\equiv 1 \pmod{r}$ 的素数，$a/r$ 是 $(1/2,1)$ 中的分数，且 $x$ 是 $p$-进整数。关键要素是 $p$-进 Gamma 函数 $\Gamma_p$ 与一类由计算机发现的超几何恒等式。