涉及广义中心三项式系数四次方的一些同余式

设 $p \ge 5$ 为素数，且 $b, c \in \mathbb{Z}$。记 $T_k(b,c)$ 为广义中心三项式系数，即 $(x^2 + bx + c)^k$ 中 $x^k$ 的系数。在本文中，我们建立了如下形式求和模 $p^3$ 和 $p^4$ 的同余式：$$\sum_{k=0}^{p-1} (2k+1)^{2a+1}\,\varepsilon^{k}\,\frac{T_k(b,c)^4}{d^{2k}},$$ 其中 $a \in \left\lbrace 0,1\right\rbrace$，$\varepsilon \in \{1,-1\}$，且 $d = b^2 - 4c$ 满足 $p \nmid d$。特别地，对于特例 $b = c = 1$，我们证明 \begin{align*} \sum_{k=0}^{p-1}\left( 2k+1\right) ^{3} \frac{T_{k}^4}{9^k}\equiv -\frac{3p}{4}+\frac{3p^2}{4}\left( \frac{q_p(3)}{4}-1\right) \pmod{p^3}, \end{align*} 其中 $T_k$ 是中心三项式系数，$q_p(a)$ 是费马商。