涉及 $\binom{3k}k$ 的三次同余式与求和

设 $p$ 为大于 $3$ 的素数，$a$ 为有理 $p$-进整数。在本文中，我们试图确定 $\sum_{k=1}^{[p/3]}\binom{3k}ka^k\pmod p$，并揭示三次同余式与和式 $\sum_{k=1}^{[p/3]}\binom{3k}ka^k$ 之间的联系，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。假设 $a_1,a_2,a_3$ 为有理 $p$-进整数，$P=-2a_1^3+9a_1a_2-27a_3$，$Q=(a_1^2-3a_2)^3$，且 $PQ(P^2-Q)(P^2-3Q)(P^2-4Q)\not\equiv 0\pmod p$。在本文中，我们证明了同余式 $x^3+a_1x^2+a_2x+a_3\equiv 0\pmod p$ 的解的个数仅取决于 $\sum_{k=1}^{[p/3]}\binom{3k}k(\frac{4Q-P^2}{27Q})^k\pmod p$。设 $q$ 为形如 $3k+1$ 的素数，使得 $4q=L^2+27M^2$，其中 $L,M\in\Bbb Z$。当 $p\not=q$ 且 $p\nmid L$ 时，我们建立了 $\sum_{k=1}^{[p/3]}\binom{3k}k(\frac{M^2}q)^k$ 和 $\sum_{k=1}^{[p/3]}\binom{3k}k(\frac{L^2}{27q})^k$ 模 $p$ 的同余式。作为推论，我们证明了 $x^3-qx-qM\equiv 0\pmod p$ 有三个解当且仅当 $p$ 是 $q$ 的三次剩余。