关于序列 $t_n(x)$ 的若干猜想超级同余式

本文研究涉及序列 $$t_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\binom{x}{k}\binom{x+k}{k}2^k$$ 的一些超级同余式并解决一些开放问题。对于任意奇素数 $p$ 和 $p$ 进制整数 $x$，我们确定 $\sum_{n=0}^{p-1}t_n(x)^2$ 和 $\sum_{n=0}^{p-1}(n+1)t_n(x)^2$ 模 $p^2$ 的值；例如，我们证明了 \begin{align*} \sum_{n=0}^{p-1}t_n(x)^2\equiv\begin{cases} \left(\dfrac{-1}{p}\right)\pmod{p^2},&\text{if }2x\equiv-1\pmod{p},\[8pt] (-1)^{\langle x\rangle_p}\dfrac{p+2(x-\langle x\rangle_p)}{2x+1}\pmod{p^2},&\text{otherwise,} \end{cases} \end{align*} 其中 $\langle x\rangle_p$ 表示 $x$ 模 $p$ 的最小非负剩余。此结果确认了 Z.-W. Sun 的猜想。