关于包含双序列s_n(x)的猜想超级同余式

2017年，Kimoto和Wakayama提出的超级同余式猜想（由Long、Osburn和Swisher确认）激发了Z.-W. Sun对以下一系列多项式进行研究： $$s_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\binom{x}{k}\binom{x+k}{k}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^k\binom{x}{k}\binom{-1-x}{k}$$ 具体而言，Z.-W. Sun conjectured that for any prime $p>3$ and $p$-adic integer $x\neq-1/2$ one has \begin{equation*} \sum_{n=0}^{p-1}s_n(x)^2\equiv (-1)^{\langle x\rangle_p}\frac{p+2(x-\langle x\rangle_p)}{2x+1}\pmod{p^3}, \end{equation*} where $\langle x\rangle_p$ denotes the least nonnegative residue of $x$ modulo $p$。本文确认了这一猜想。