素数幂与殆素数之和

对于任意固定的 $k\geq 2$，我们证明每个充分大的整数都可以表示为一个素数的 $k$ 次幂与一个至多具有 $M(k)=6k$ 个素因子的数之和。对于充分大的 $k$，我们还证明可以取 $M(k)=(2+\varepsilon)k$（对任意 $\varepsilon>0$），或在 Elliott--Halberstam 猜想成立的条件下取 $M(k)=(1+\varepsilon)k$。此外，我们给出该结果的一个变体，考虑了同余条件并加强了 Erd\H{o}s 和 Rao 的经典定理。我们使用的主要工具是 Diamond、Halberstam 和 Richert 的加权筛法，整数表示为两个 $k$ 次幂之和的表示数的上界，以及 $k$ 次剩余的结果。我们还使用一些简单的计算和论证来猜想 $M(k)$ 的最优值，以及 Hardy-Littlewood 猜想 H 的一个相关变体。