Selberg筛法的变体及殆素数k元组

设 $k\geq 2$ 且 $\mathcal{P} (n) = (A_1 n + B_1 ) \cdots (A_k n + B_k)$，其中所有 $A_i, B_i$ 均为整数。假设 $\mathcal{P} (n)$ 没有固定的素因子。对每个 $k$ 的选择，已知存在整数 $\varrho_k$ 使得 $\mathcal{P} (n)$ 有无穷多个取值至多含有 $\varrho_k$ 个素因子。我们采用一种新的加权筛法构造并结合一种称为 $\varepsilon$-技巧的装置，改进了 $k\geq 7$ 时 $\varrho_k$ 的可能取值。作为我们方法的副产品，在广义 Elliott--Halberstam 猜想的假设下，我们改进了 $k\geq 4$ 时 $\varrho_k$ 的条件可能取值。