Selberg 筛法的变体及包含多个素数的有界区间

对于任意 $m \geq 1$，令 $H_m$ 表示量 $\liminf_{n \to \infty} (p_{n+m}-p_n)$。Zhang 的一项著名近期结果证明了 $H_1$ 的有限性，并给出了显式界 $H_1 \leq 70000000$。随后我们（Polymath8 项目）将其改进为 $H_1 \leq 4680$，接着 Maynard 将其改进为 $H_1 \leq 600$，他还首次建立了 $m \geq 2$ 时 $H_m$ 的有限性结果，具体为 $H_m \ll m^3 e^{4m}$。如果进一步假设 Elliott-Halberstam 猜想，Maynard 获得了界 $H_1 \leq 12$，改进了 Goldston、Pintz 和 Y{\i}ld{\i}r{\i}m 此前的界 $H_1 \leq 16$，以及界 $H_m \ll m^3 e^{2m}$。在本文中，我们通过进一步推广 Selberg 筛法并进行更广泛的数值计算，扩展了 Maynard 的方法。因此，我们可以无条件地获得界 $H_1 \leq 246$，并在假设广义 Elliott-Halberstam 猜想下获得 $H_1 \leq 6$。事实上，在后一猜想下，我们证明了更强的结论：对于任意容许三元组 $(h_1,h_2,h_3)$，存在无穷多个 $n$，使得 $n+h_1,n+h_2,n+h_3$ 中至少有两个是素数。我们修改了 Selberg 的“奇偶性问题”论证，以表明这是纯筛法理论考虑所能获得的最佳结果。对于较大的 $m$，我们利用本项目此前获得的分布结果，得到了无条件渐近界 $H_m \ll m e^{(4-\frac{24}{181})m}$，或在假设 Elliott-Halberstam 猜想下的 $H_m \ll m e^{2m}$。我们还获得了 $m=2,3,4,5$ 时 $H_m$ 的显式上界。