关于几乎相等素数之 k 次幂的和

对于满足必要同余条件且 $k\geq 2$ 的“几乎所有”足够大的 $N$，我们证明了方程 \begin{align*} \begin{split} &N=p_{1}^{k}+p_{2}^{k}+\cdots+p_{s}^{k}, \\ &\left|p_{i}-( N/s)^{1/k}\right|\leq (N/s)^{\theta/k},\ (1\leq i\leq s) \end{split} \end{align*} 解的数目的{\bf 渐近公式}成立，其中 \begin{align*} s\geq \frac{k(k+1)}{2}+1\ \ \textup{and}\ \ \theta\geq {\bf 2/3}+\varepsilon. \end{align*} 这扩大了可由 M"{a}tomaki 与 Xuancheng Shao \cite{MS} 的方法获得的 $s$ 的有效范围。[Discorrelation between primes in short intervals and polynomial phase, Int. Math. Res. Not. IMRN 2021, no. 16, 12330-12355.] 其思想在于避免同时使用引理 2.4 中的指数和 (1.2) 与 Vinogradov 均值定理。主要的新要素来自 Kumchev 与 Liu \cite{KL}（见引理 2.2）。