关于带位移的Waring问题中的渐近公式

我们证明，对于整数 $k\geq 4$ 和 $s\geq k^2+(3k-1)/4$，存在关于正整数 $x_i$ 解个数的渐近公式，该不等式为 $\left|(x_1-\theta_1)^k+\dotsc+(x_s-\theta_s)^k-\tau\right|<\eta$，其中 $\theta_i\in(0,1)$ 且 $\theta_1$ 为无理数，$\eta\in(0,1]$，且 $\tau>0$ 足够大。我们使用Freeman的Davenport--Heilbronn方法的变体，结合对Hardy--Littlewood劣弧的新估计，获得了对Chow原始结果的改进。