乘法群元素求和的渐近公式

设 $K$ 为数域，$k\geq 2$ 为整数，$(K^*)^k$ 为 $K^*$ 的 $k$ 倍直积，坐标为乘法，$\Gamma$ 为其中的秩为 $r$ 的有限生成子群。进一步令 $H(\alpha )$ 表示代数数 $\alpha$ 的绝对指数高度。固定非零元素 $a_1\dots a_k\in K$。我们给出当 $X\to\infty$ 时，满足以下条件的 $\mathbf{x}=(x_1\dots x_k)\in\Gamma$ 中 $a_1x_1+\cdots +a_kx_k$ 的个数 $H(a_1x_1+\cdots +a_kx_k)\leq X$，且 $a_1x_1+\cdots +a_kx_k$ 的任何非空子和均不为零。通过相同的方法论证，我们得到当 $X\to\infty$ 时，线性递推数列 $\{ u_n\}$ 中满足 $H(u_n)\leq X$ 的非负整数 $n$ 的个数的渐近公式。