数域整数环中不可约元素的两个问题

设 $K$ 为一个数域，其整数环为 $\mathbb{Z}_K$。我们证明了两个与 $\mathbb{Z}_K$ 中不可约元素分布相关的渐近公式。首先，我们估计了当 $x\to\infty$ 时，范数（绝对值）不超过 $x$ 的 $\mathbb{Z}_K$ 非零元素所分解出的非相伴不可约元的最大个数。其次，我们计数了范数不超过 $x$ 且位于给定算术级数中的 $\mathbb{Z}_K$ 不可约元素的个数（同样当 $x\to\infty$）。当 $K=\mathbb{Q}$ 时，这两个结果都是经典的；一般情况的新特征在于 $K$ 的类群的组合性质的影响。