关于多个整数最大公约数与最小公倍数的双曲求和

设 $k\ge 2$ 为固定整数。我们考虑形如 $\sum_{n_1\cdots n_k\le x} F(n_1,\ldots,n_k)$ 的和，取遍双曲区域 $\{(n_1,\ldots,n_k)\in {\Bbb N}^k: n_1\cdots n_k\le x\}$，其中 $F:{\Bbb N}^k\to {\Bbb C}$ 为给定函数。特别地，我们针对双曲求和 $\sum_{n_1\cdots n_k\le x} f((n_1,\ldots,n_k))$ 与 $\sum_{n_1\cdots n_k\le x} f([n_1,\ldots,n_k])$ 推导出带余项的渐近公式，其中涉及整数 $n_1,\ldots,n_k$ 的 GCD 与 LCM，且 $f:{\Bbb N}\to {\Bbb C}$ 属于某些函数类。我们的部分结果推广了作者本人在 $k=2$ 时所获结论。