关于gcd和函数对数平均之和

设$\gcd(k,j)$为整数$k$与$j$的最大公因数。对任意算术函数$f$，我们建立了带对数权重的gcd和函数加权平均的若干渐近公式，即$$\sum_{k\leq x}\frac{1}{k} \sum_{j=1}^{k}f(\gcd(k,j)) \log j.$$更确切地说，我们对多种积性函数给出了渐近公式，如$f=id$、$\phi$、$id_{1+a}$与$\phi_{1+a}$，其中$-1<a<0$。我们还建立了以和函数$\sum_{j=1}^{k}s_{k}(j)\log j$为系数的Dirichlet级数的若干公式，其中$s_{k}(j)$为Anderson--Apostol和。