涉及有界除数的广义除数和函数的组合和与恒等式

记为 $L_{\alpha}(q)$ 的 Lambert 级数生成函数 (LGFs) 类形式上枚举了广义除数和函数 $\sigma_{\alpha}(n) = \sum_{d|n} d^{\alpha}$，适用于所有整数 $n \geq 1$ 和固定的实值参数 $\alpha \geq 0$。我们证明了展开这些 LGFs 高阶导数的新公式。将获得的结果相结合，以表达展开广义除数和函数的新恒等式。这些新恒等式被展开为依赖于 $n$ 和 $\alpha$ 的相关类除数和的多项式缩放倍数的和的形式。