一组有趣且有用的兰伯特级数恒等式目录

兰伯特级数生成函数是一种在算术函数 $f$ 上求和的特殊级数，定义为 $$L_f(q) := \sum_{n \geq 1} \frac{f(n) q^n}{1-q^n} = \sum_{m \geq 1} (f \ast 1)(m) q^m.$$ 由于此类生成函数左侧项生成由狄利克雷卷积与1卷积的 $f$ 的除数和的方式，这些展开式是枚举数论中许多乘性特殊函数的普通生成函数的自然方法。我们概述了兰伯特级数生成函数展开式的关键性质及其更具组合性的推广，并包含说明这些级数特殊情形已知公式的表格汇编。在此意义上，我们更关注由兰伯特级数枚举的序列的形式性质，而不花大量时间将这些级数作为受严格收敛约束的分析对象处理。在阅读本文档前可能想到的第一个问题是：为何要编纂这份有趣的兰伯特级数恒等式目录？正如H. W. Gould和T. Shonhiwa不可或缺的参考文献《一组有趣的狄利克雷级数目录》之于狄利克雷级数（DGF）恒等式，在许多情况下人们需要一份关于兰伯特级数及其性质的概要参考。近期有新工作通过生成函数展开将兰伯特级数展开与划分函数联系起来。除了这些新展开式并提供兰伯特级数导论外，我们列出了经典相关的以及偶尔在应用中有用的兰伯特级数求和的“零碎”例子。如果您发现作者遗漏的任何主题或恒等式，请通过电子邮件联系我们以增补至此参考。