广义除数和函数的连分式与$q$-级数生成函数

我们构造了$z$中Jacobi型J-分式的新连分式展开，其幂级数展开对所有整数$n \geq 0$生成$q$-Pochhamer符号之比$(a; q)_n / (b; q)_n$，其中$a,b,q \in \mathbb{C}$非零且定义为$|q| < 1$与$|b/a| < |z| < 1$。若在这些广义级数展开中设定参数$(a, b) := (q, q^2)$，则我们得到一个对应的J-分式，枚举所有整数$n \geq 0$上的项序列$(1-q) / (1-q^{n+1})$。因此，当在我们的新J-分式展开中令$z \mapsto q$时，我们能够定义对应于生成除数函数$d(n)$的Lambert级数的新$q$-级数展开。通过对$z$重复求导，我们还利用这些生成函数，在$\alpha \in \mathbb{Z}^{+}$时，给出除数和函数$\sigma_{\alpha}(n)$生成函数的新$q$-级数展开。为了展开这些特殊算术函数的新的$q$-级数生成函数，我们定义了一类广义的所谓类Stirling数的“$q$-系数”，即Stirling $q$-系数，其性质、与初等对称多项式的关系以及与我们的无穷J-分式渐近分数的关系也在本文证明的结果中进行了探讨。