Lambert 级数生成函数的阿达马积与高阶导数的因式分解定理

我们首先总结关于若干初步标准 Lambert 级数因式分解定理的联合工作。在本文中，我们建立了这些原始因式分解定理的新类比，其刻画了 Lambert 级数生成函数展开的两个特定主要情形：Lambert 级数的阿达马积因式分解与 Lambert 级数的高阶导数因式分解。对应于这两类生成函数情形的级数系数十分重要，需要在文中对其展开给予特别的应有重视，并且，它们的重要性在于将特殊乘性函数上的 Lambert 级数的特征展开与分拆理论显式的加性本质联系起来。我们新结果的应用给出了涉及乘性函数的新的奇特和式、对 Lambert 级数生成函数的整数阶第 $j$ 阶导数的系数的新的基于求和的解释、若干 Riemann zeta 函数的新级数，以及一个关于整除 $n$ 的不同素数个数的精确恒等式。