广义阶乘函数普通生成函数的雅可比型连分数

本文通过雅可比型连分数（J-分数）研究一类广义阶乘函数与符号乘积序列，这些连分数形式化地枚举了这些序列的发散普通生成函数。这些 J-分数的更一般定义推广了 Flajolet 最初证明的连分数展开，该展开在任意固定的非零未定元 $x \in \mathbb{C}$ 下生成上升阶乘函数（即 Pochhammer 符号 $(x)_n$）。这些广义 J-分数的有理收敛子为枚举许多特定类别的阶乘相关整数乘积序列的普通生成函数提供了形式幂级数近似。本文还给出了对一些特定恒等式的应用、广义阶乘相关乘积序列与 $r$ 阶调和数所满足的新整数同余关系，以及作为新结果直接应用的若干其他显著例证。从这个意义上说，本文充当了一个半全面、详细的综述参考，介绍了许多已有且众所周知的组合恒等式的应用、阶乘函数相关乘积序列生成函数的新情形，以及广义整数值多阶乘（或称 $\alpha$-阶乘）函数序列的其他例子。文中引用的具体例子所阐明的基于收敛子的生成函数技术可轻易推广，以枚举在许多其他特定应用背景下出现的类阶乘乘积序列。