某些超越数的连分数

我们考虑如下形式的级数 $$\frac{p}{q} +\sum_{j=2}^\infty \frac{1}{x_j},$$ 其中 $x_1=q$ 且整数序列 $(x_n)$ 满足某个二阶非自治递推关系，这蕴含了对于 $n\geq 1$ 有 $x_n|x_{n+1}$。结果表明，该序列的项以及连续项比值的倍数交替出现在该级数和的连分数展开式中，而该级数和是一个超越数。