修正 Engel 级数与 Pierce 级数的连分数与无理指数

Engel 级数是非负整数非递减序列 $(x_n)$ 的倒数之和，其中每一项都能被前一项整除；而 Pierce 级数是具有相同性质序列的倒数交错和。给定任意有理数，我们证明存在一族 Engel 级数，将其加到该有理数上会产生一个超越数 $\alpha$，其连分数展开由相应序列 $(x_n)$ 显式确定，其中后者由某个二阶非线性递推生成。我们还给出了有理数加上或减去一个 Pierce 级数时的类似结果。在这两种情形中（有理数与 Engel 或 Pierce 级数结合），无理指数以下界 $(3+\sqrt{5})/2$ 为界，我们进一步确定了无理指数可被精确计算的无穷族超越数 $\alpha$。此外，我们构造了任意有理数加上具有更强性质（即对所有 $j$ 有 $x_j^2$ 整除 $x_{j+1}$）的 Engel 级数时的连分数展开。