某些 Mahler 函数的连分数

我们研究无穷乘积 $g(x) = x^{-1}\prod_{t=0}^\infty P(x^{-d^t})$ 的连分数展开，其中多项式 $P(x)$ 满足 $P(0)=1$ 且 $\deg(P)<d$。我们构造了 $g(x)$ 的部分商之间的关系，可用于推导其递推公式。我们给出了 $d=2$ 和 $d=3$ 情形下的该公式。作为应用，我们证明：对于 $P(x) = 1+ux$（其中 $u$ 为除 0 和 1 外的任意有理数），以及对于任意满足 $g(b)\neq0$ 且 $|b|>1$ 的整数 $b$，$g(b)$ 的无理度指数等于 2。在 $d=3$ 的情形下，我们给出了上述结果的部分类比，其中若干多项式 $P(x)$ 的组合使得 $g(b)$ 的无理度指数严格大于 2。